Суть метода
В составе любой электрической цепи есть цепи и ответвления. Действующие в них электрические токи определяются по правилам Кирхгофа. В этом случае количество уравнений будет совпадать с количеством неизвестных величин.
Существуют способы упростить расчет цепей за счет уменьшения количества уравнений, необходимых для решения задачи. Один из самых известных основан на таком понятии, как петлевой ток. С его помощью процедура расчета становится более эффективной, что особенно выгодно при рассмотрении самых сложных электрических схем.
Иногда возникает вопрос, являются ли петлевые токи реальными ветвевыми токами. В некоторых случаях это может быть так, но не всегда. Фактический ток равен току цепи, если он протекает только в одной цепи.
При выполнении расчетов в режиме онлайн или оффлайн используются специальные искусственно смоделированные электрические токи. Одной из характеристик смоделированных электрических токов является то, что каждый из них проходит внутри элементарной цепи. При этом рассматриваются только те из них, которые по сравнению друг с другом имеют новые ответвления.
Расчет тока контура предполагает, что не все токи в соответствующей цепи независимы. Следовательно, этот метод позволяет сократить количество уравнений, необходимых для расчета. С его помощью можно определить действительные токи в каждой части цепи.
Оптимизированная процедура составления системы
Упрощенный метод заключается в следующем:
- В уравнениях в левой части записано произведение суммы всех сопротивлений, входящих в цепь, на ток цепи;
- Из полученного выражения вычесть токи соседних шлейфов, умноженные на сумму сопротивлений общей ветви;
- Справа записана сумма источников ЭДС цепи.
Формальный подход
Формальный подход предполагает матричную форму системы уравнений. Для расчетов первые данные записываются в матричном виде. Используются следующие матрицы:
- C — где имеется i строк, соответствующих количеству контуров, и j столбцов, соответствующих количеству ответвлений;
- Z — диагональная матрица сопротивлений, где количество строк и столбцов соответствует количеству ветвей;
- Ct — транспонированная матрица C;
- I — матрица контурных значений;
- J – матрица источников тока;
- E – матрица ЭДС.
При составлении массива C каждый элемент Cij будет:
- 0, если ветвь j не входит в контур;
- -1, если ответвление входит в цепь, направление тока противоположно цепи;
- 1 — то же, но направление тока совпадает с контуром.
В матрице Z диагональные элементы равны сопротивлениям секций, остальные равны нулю.
Окончательная формула для расчетов:
C∙Z∙Ct∙I=C(Z∙J+E).
Эта форма записи решения в матричной форме показывает, как выполняются операции над скомпилированными матрицами.
Пример системы уравнений
Ниже приведен пример расчета конкретной схемы без учета номиналов элементов.
Пример решения
В данной цепи выделены три цепи. Как выразить токи в ветвях через контур:
- i1=I1;
- i2=I2;
- i3=I3;
- i4=I2+I3;
- i5=I1+I2;
- i6=I1-I3.
Как написать систему уравнений:
- i1R1+i5R5+i6R6=E1;
- i2R2+i4R4+i5R5=E2;
- i3R3+i4R4-i6R6=0
Чтобы заменить значения контура:
- I1R1+(I1+I2)R5+(I1-I3)R6=E1;
- I2R2+(I2+I3)R4+(I1+I2)R5=Е2;
- I3R3+(I2+I3)R4-(I1-I3)R6=0
После преобразования получается искомая система уравнений:
- (R1+R5+R6)I1+R5I2+R6I3=E1;
- R5I1+(R2+R4+R5)I2+R4I3=Е2;
- -R6I1+R4I2+(R3+R4+R6)I3=0.
Система трех уравнений легко решается после подстановки известных параметров. Из полученных значений токов контура можно затем найти нужные значения.
Этот пример решения задач методом контурных токов показывает, что любую достаточно сложную схему можно значительно упростить для решения, руководствуясь инструкцией.
Важно! Метод неприменим, если невозможно преобразовать цепь без взаимной обрезки ветвей.
В некоторых случаях схему можно упростить, преобразовав ветви, соединенные по схеме «звезда», в треугольник.
Точно такие же результаты дает метод узловых потенциалов. Расчеты основаны на поиске потенциала каждого узла (так называемого узлового потенциала). Существуют программы, позволяющие рассчитать параметры онлайн по рассмотренным методикам.
Читайте также: Габаритный эскиз звездочки
Построение системы уравнений
От чего зависит сопротивление проводника
Построение системы уравнений по рассматриваемому методу осуществляется по следующим правилам:
- Для каждого выбранного контура задается направление орбиты;
- В левой части уравнений записывается сумма всех произведений искомых токов в ветвях на сопротивления ветвей. Сумма источников напряжения, присутствующих в цепи, записана справа;
- Если направление искомого значения или источника напряжения совпадает с заданным направлением обхода, члены записываются со знаком плюс, в противном случае имеют отрицательное значение;
- Величина токов в ветвях заменяется их выражением в виде петлевых токов.
После выполнения арифметических операций (раскрытие скобок, сокращение однородных членов) получается система уравнений, в которой неизвестными величинами являются виртуальные петлевые токи.
Путем решения системы уравнений получаются значения контура, а затем искомые значения.
Определение и суть метода контурных токов
Допустимый ток для медных проводов — плотность тока в медной жиле
По этому методу в исследуемой цепи выделяются независимые плоские замкнутые контуры, включающие все без исключения элементы. Предполагается, что в каждой цепи может протекать некоторый контурный ток. В том случае, если цепь с элементом принадлежит только одной цепи, ток через входящие в нее элементы равен цепи. Если элемент охвачен несколькими цепями, он равен алгебраической (с учетом направления) сумме цепных токов в нем.
Разделение цепи на контуры
Важно! Суммирование должно производиться строго с учетом направления движения при обходе контура. Знак «плюс» указывает на то же направление, знак «минус» — на противоположное.
При составлении уравнений учитывают источники ЭДС и тока, включенные в цепь.
На практике удобнее преобразовать идеальный источник тока в идеальный источник ЭДС. Преобразование выполняется по закону Ома:
U=I∙r, где r — внутреннее сопротивление источника тока (напряжения).
Метод расчета используется как в цепях постоянного, так и переменного напряжения. При расчете цепей переменного напряжения с реактивными элементами используют комплексные величины, затем рассчитывают мгновенные и амплитудные значения токов и напряжений и углы сдвига фаз между ними.
Реактивный контур
Практическое применение
Чтобы лучше понять, как можно определить токи в ветвях цепи методом контурных токов, предлагаем рассмотреть такую схему.
Анализ схемы показывает, что по ней протекают как контурные, так и фактические электрические токи. Первый имеет индекс из одной цифры, второй из двух. Следует отметить, что каждая сторона треугольника представляет собой отдельный контур. В каждом из них задается направление объезда. Выбирается произвольно, но определяет знаки токов, проходящих в ветвях. В качестве нагрузок используются резисторы, но можно рассматривать и более сложные элементы. Учитывая направление токов, составим систему уравнений:
Для расчета скомпилированной системы используем правила Кирхгофа:
Расчет цепей с использованием петлевых электрических токов также можно осуществить с помощью специальных онлайн-сервисов. Вышеприведенная формула может быть представлена следующим равенством:
В этом выражении используются следующие обозначения:
- Равные показатели, относящиеся к сопротивлению, составляют суммарное значение k-го звена электрической цепи.
- Если для сопротивления используются индексы k и m, то речь идет об общем сопротивлении, которое включено одновременно в 2 цепи с такими номерами.
- Следует отметить, что в последней формуле присутствуют контурные токи в k-м контуре.
- Справа от знака равенства указана полная электродвижущая сила для k-го контура.
При определении неизвестной величины член берут с плюсом в тех ситуациях, когда направления электрических токов в соседних цепях совпадают, и с минусом — когда они противоположны. Контурная ЭДС может быть положительной или отрицательной. Первый вариант используется в тех случаях, когда направления ЭДС и электрического тока контура совпадают. В противном случае ЭДС берется с минусом.
Уравнение составляется не для всех цепей. Исключением являются те, где есть источник электрического тока. В такой ситуации контурный ток совпадает с реальным. Количество уравнений в полученной системе равно количеству контуров, которые являются независимыми, т е такими, которые имеют хотя бы одну ветвь, отделяющую их от всех остальных. Решение полученной системы уравнений позволит рассчитать электрические токи в каждом звене цепи.
Построение системы контуров
Резонанс — что это такое
Самая большая сложность заключается в правильном выборе контуров. Количество контурных токов будет равно количеству выбранных контуров.
Важно! Каждый элемент схемы должен быть частью хотя бы одной цепи.
Существует два распространенных метода выбора контуров.
Использование планарных графов
Метод планарного графика используется для ручных расчетов, так как он самый простой и интуитивно понятный. Для построения планарного графа диаграмму рисуют таким образом, чтобы не было взаимного пересечения ветвей. Получается, что схему можно разделить на несколько ограниченных участков, образующих контуры.
Рассматриваемый метод неприменим без дальнейших преобразований, если форму невозможно выразить в виде планарного графа.
Метод выделения максимального дерева
Метод выбора максимального дерева является более абстрактным и используется для автоматизированных расчетов и наличия специализированных программ. Суть метода заключается в исключении некоторых ветвей из цепочки в соответствии со строгими правилами, которые заключаются в следующем:
- На каждом этапе исключается только одна ветвь;
- Устранение ветки не должно приводить к разбиению графа на несколько частей или к «висячим узлам»;
- Количество внешних звеньев равно количеству независимых каналов;
- подключение к внешней ветке образует соответствующий цикл.
